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数学与生活

自从懂事以来,数学就已进入了我们的生活,数学无处不在影响着我们的生活,指引着智慧的方向,陪伴我们度过学习与成长的各个阶段。

数学是一门给人智慧、让人聪明的学科,在数学的世界中,我们可以探索以前所不知道的神秘,在这个过程中我们变得睿智、变得聪明。

由于以前选择了文科,所以到大学才接触到危机分的知识,也开始了对微积分的探索,现在可以说是略知一、二了,在此期间间间的了解到微积分的美好,以及新引力的强大。但学习微积分的过程是困难与艰辛的,与此同时,我也了解到——数学是一种寻求众所周知的公理法思想的方法,这种方法包括明确的表述出将要讨论的概念的含义,以及准确的表述出作为推理基础的公设。具有极其严密的逻辑思维能力的人从这些定义和公设出发,推导出结论。同时数学是一门需要创造性的科学,而数学的这些创造性的动力往往来自于生活。反过来,数学的这些创造性地成果往往又作用于生活的各个方面。例如,商业和金融事务、航海和历法的计算、桥梁、水坝、教堂和供电的建造、作战武器和工事的设计,以及许多人类的需要。与此同时,数学又能对这些问题给出最完满的解决。在我们高速发展的社会中,数学被当作普遍工具的事实更是毋庸置疑的。

在我们的日常生活中,微积分确确实实的存在着,只是我们缺少善于发现的精神而已。比如说,我们在养花,而花瓶中水过多了,我们这时就要倒出部分水,这是上活中的公式就产生了,这个问题是:我们要将瓶子倾斜多少度时才能降水倒出一半来?这是微积分就派上用场了。

假设花瓶的纵截面是抛物线

Y=ax^2(a>0)

首先,先算出瓶子直立水满时的体积用一个积分就可以了,结果等于V=πh^2/(2a);

第二步,假设倾斜角为α,正好倒掉了一半的水,重新建立坐标系,令此时瓶的对称轴为y轴,垂直于瓶的对称轴的射线为x轴,然后将坐标系还原为常规正立的图形,此时瓶里水的横截面图像为抛物线和水面所在直线的公共部分,注意此时水面所在直线与x轴的倾角是刚好为题目所提到的倾斜角α(如原图所示,倾斜后的水平面此时与x轴平行,因此水面与瓶的对称轴的夹角为90-α,也即在新建坐标系下,水面所在直线与y轴的夹角也为90-α,因此它与x轴的夹角为α)。

所以可以设该直线方程为

y=tanα*x+b

假设直线与抛物线的交点为A(x0,y0),B(sqrt(h/a),h))(左A,右B)(B点的纵坐标显然等于瓶子的高度h),先利用B点坐标求出直线的截距b,然后联立直线与抛物线方程可以求的A点坐标;

第三步,就是求此时瓶中水的体积,可以将图像分为两部分,

一部分是直线y=y0与抛物线所交部分,第二部分是直线y=y0、直线y=tanα*x+b及抛物线y=ax^2(a>0)相交部分。第一部分体积为V1=∫π*(x^2)dy=∫π*y/ady(积分上下限为0和y0);

第二部分体积为V2=∫π*((sqrt(y/a)-(y-b)/tanα)/2)^2dy(积分上下限为y0和h);因此根据:

 V1+V2=V/2=π*h^2/(4a)=∫π*y/ady(积分上下限为0和y0)+∫π*((sqrt(y/a)-(y-b)/tanα)/2)^2dy(积分上下限为y0和h)可以解得所求α值。

这就是数学于生活紧密联系在一起了,如果数学不能和生活紧密联系在一起,那么数学将变得空洞无力。

著名数学家罗素曾说:“数学如果正确看待他,则具有……至高无上的美——正像雕像的美,是一种冷而严肃的美,这种每部石头和我们的天性的微弱的美,这些煤没有绘画或音乐的那些华丽的装饰,它可以纯净到崇高的地步,能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种精神上的喜悦,一种精神上的亢奋,一种高于人的意识的,这些是至善至美的标准,能够在诗里得到,也能够在数学里得到”这就表明伟大的人物因为有一双善于发现美的眼睛所以他看到了数学隐藏的魅力。除了创造性和发现,想象也是可以使数学在我们思想中得到升华的。

学了很久的数学了,明卖弄百数学的源远流长于高深莫测,他引领着前进的道路。Hankel,Hermann 说:数学沿着他自己的道路而无拘无束的前进着,这并不是因为他有什么不受法律约束之类的种种许可证,而是因为数学本来就具有一种由其本性所决定的并且与其存在相符合的自由无益的是数学在生活中独特而不可或缺,失去了数学科技水平将倒退。这不是耸人听闻,这是对数学这门使人精密学科的肯定,这是不可置否的。

数学不是规律的发现者,因为它不是归纳。数学也不是理论的缔造者,因为它不是假说。但数学确实规律和假说的裁判和主宰者,因为规律和假说都要向数学表明自己的主张,然后等待数学的裁判。如果没有数学的认可,则规律不能起作用,理论也不能解释。(来自数学的文化)

数学是重要的,生活不能离开数学,国防发展与科技进步也不能离开数学。在遥远的古代中国是引领世界的,因为那时的勤劳人民已发现了数学算筹、《九章算术》……这都是历史留下来的论据。一个国家的强大离不开数学的精密计算。21世纪的今天中国已傲然屹立于世界民族之林,为了使国际地位不断提升,我们必须坚定的发展研究数学。

小学数学论文题目大全?

  这里搜集了一些小学数学教学论文题目,仅供参考。  

  1、课堂有效提问的初步探究

  2、小学数学数与计算教学的回顾与思考

  3、小学数学教材结构的研究与探讨

  4、小学数学应用题的研究

  5、改进教学方法培养创新技能

  6、使学生真正成为学习的主人

  7、改革课堂教学的着力点

  8、谈素质教育在小学数学教学中的实施

  9、素质教育与小学数学教育改革

  10、浅谈学生数学思维能力的培养

  11、实施创新教学策略,培养学生创新意识

  12、10以内加法整理和复习

  13、改良“有余数除法计算”教法

  14、给学生创新的时间和空间

  15、谈谈计算教学的改革

  16、面向21世纪的数学素质及其培养

  17、能被3整除的数的特征

  18、年、月、日

  19、培养自学能力,推进素质教育

  20、浅谈小学数学总复习的“步步反馈,逐层提高”法

  21、入情才能入理 激情方能启思

  22、实施“生活数学”教育,培养自主创新能力

  23、数学作业批改中巧用评语

  24、提高认知水平,培养自学能力

  25、圆的面积”的教案

  26、圆柱的认识

  27、运用多媒体辅助教学,优化数学教学方法

  28、组织课堂讨论 优化课堂教学

  29、重视学生获取知识的思维过程

  30、小论文巧算圆的面积

  31、联系生活实际提高课堂效率

  32、数学教学中如何调动学生的学习积极性

  33、根据心理学的理论进行计算法则教学

  34、简单应用题教学再探

  35、创设情境,培养学生创造个性

  36、学生“四会”能力的培养

  37、营造探究氛围一例

  38、实施创新教育 培养创新人格

  39、《9和几的进位加法》教学设计

  40、信息技术与小学数学

  41、合理运用学具 提高数学课堂教学效率

  42、略谈“问题解决”与小学数学教学

  43、渗透数学思想方法 提高学生思维素质

  44、引导学生参与教学过程 发挥学生的主体作用

  45、培养学生的创新意识要处理好的几个关系

  46、浅谈“数形结合”在小学低段数学教学中的应用

  47、借助学具,提高数学课堂效率

  48、对数学新课程理念下练习课教学的几点思考

  48、多通道促进数学课堂公平

  50、上“活”概念课,灵动新课堂

  51、对学生数学作业订正现状调查分析及对策

  52、对小学数学动态生成式课堂结构的认识

  53、对新课程中估算教学的几点想法

  54、谈小学应用题教学如何为学生自主探索创造条件

  55、小学数学课堂中的口头评价

  56、让新理念成为把握教材的支撑点

  57、立足现实起点,提高课堂效率

  58、谈课堂教学中有效情境的创设

  59、提高数学课堂教学效率之我见

  60、为学生营造一片探究学习的天地

  

小学一年级学生数学小论文怎么写!急!谢谢!

范例:

生活中的数学

摘要:通过在日常生活中练习10以内加减法,比大小,增加了我的学习兴趣。

我爸爸经常到青年路菜场买菜,一到家我就帮着拎菜。爸爸说;“买鸡蛋了,你数数多少个”。我数了一下共有10个。爸爸说:“这些鸡蛋是我们2人吃的,你学了10的分减,现在我来考你,分一分”。我说:“好的,我数学学得还不错呢。”爸爸说:“我们都一样多”。我想了一下说:“5和5”,我把鸡蛋分成5个和5个两份。爸爸说:“对,那你比我多4个”。我于是把爸爸那份拿出2个,说“7和3”。爸爸说:“又对了,我比你多2个”。我从我那里拿出3个,我有点得意,说“4和6”。爸爸点点头说:“看来你学得不错嘛,我们再来”。于是我们又继续分下去,最后我说:“徐老师教我口诀1、9,2、8,3、7,4、6,5、5,我都记得很熟了”。爸爸说:“难怪你都分对了,不过我们以后在生活中还能遇到10的分减呢,到时可还要让你帮我算哦”。

后来我和爸爸买东西的时候,一有机会他就拿10元给我去找零,每次我算对了,爸爸都会笑着点点头,说我是“巧算手”。我想原来生活上的能用上数学,我热爱我的老师,热爱我的数学。

一、一年级学生数学小论文

数瓶子

我们家的阳台上堆满了各种各样大大小小的塑料瓶。要过年了,妈妈说我们一起整理一下吧。爸爸说:“大的塑料瓶2角钱一个,小的塑料瓶1角钱一个,这些瓶子一共得多少钱呢?”我说:“我要和妈妈一起比赛。”

比赛开始了,我一个一个地加了起来:1角,2角,3角„„一共是„„?妈妈笑着说:“我早就算出来了,是3元5角。”

我不服气地说:“你怎么算这么快呀?”

妈妈说:“你看,大的塑料瓶放一堆,小的塑料瓶放一堆,然后把它们加一下,不就很快出来了吗?”

“对呀,老师教我们数学的时候,也是10个小棒捆一起,不是和数瓶子一个道理吗?”

我重新把它们分了一下,很快就数出来了,我高兴极了。原来我们的生活中处处都能用到数学知识,我要好好学习数学。

二、一年级学生数学小论文

数学的色彩

清晨,鲜红的太阳露出半个笑脸,和谐的阳光洒满人间,我的心情真是好极了。突然接到爷爷的电话,叫我巧算九块五加九十九块五,我马上告诉爷爷:九加九十九,再加一,不就等于一百零九吗?爷爷说我的算法还不算巧,如果凑整减零头就好算得多。我马上打断爷爷的话,告诉他:10+100-1=109(元)。这时爷爷夸我,说我还算灵巧。这是早晨的数学题,我把数学定为红色。

上午,爸爸从银行交完电费回来,叫我计算电费。用电量是从1079-1279(度),每度电单价是0.38元,我用心算整好200度,我把单价变为分数是38/100,列式:200×(38/100),先约分再乘,等于76元。爸爸说没错,和电脑算得一样。我很得意,这时已近中午,我把数学定为黄色。

下午,我和妹妹在家里切西瓜,把半个西瓜再均匀地切两刀,其中的两份就是2/3,我问妹妹这两份是整个西瓜的几分之几呢?妹妹开学才上一年级,当然不会算,我告诉她把西瓜整体看作1,第一分率是1/2,它的分率是2/3,相乘的结果就是这两份是整个西瓜的2/6,约分后就是1/3。这时我想爷爷曾说七色阳光为白色,那么,这个数学就定为白色吧。

夜晚在蓝色的星空下,我和妈妈在一起看电视,我怎么也弄不懂考古学家是怎样从腿骨的化石推算出大艾尔恐龙的身高呢?妈妈说这蓝色的数学等你长大了,本事大了自然就会了。

生活中的数学简直是太多了,真是绚丽多彩,它随时在你身边出现。我爱数学,我要学好数学。

我有一个喜欢捡瓶子的奶奶。院子里经常堆满了各种各样的废瓶。我经常把瓶子到处乱扔。奶奶看见了,说:“这些瓶子的作用可大了 !我从小没上过学,就是靠这些瓶子学会算术的!”我一点都不相信。

奶奶摸着我的头,笑着说:“不信我们比比!”

我说:“好的!”我还比不过你吗?我在班上数学还不赖的。

我赶紧叫爸爸来做裁判。

爸爸拿了十几个瓶子,放在地上说:“小塑料瓶是5分,易拉罐1毛,大塑料瓶2毛。”

比赛开始了,我一个一个地加了起来。“1毛,2毛,2毛5,……,我算出来了,是3元5角。”我很得意地朝奶奶笑笑。谁知爸爸给了我张纸条,上面写着“3.5”。我这才明白奶奶早就算好了。

我不服气地问奶奶:“你怎么这么快呀?”

奶奶说:“你看,如果你先把它们分一下,小瓶一类,易拉罐一类,大瓶一类,不就快了吗?”

“对呀,老师教我们数小棒时,把小棒10个一捆,不是和数瓶子一个道理吗?”

“奶奶,我来帮你算算你一共收了多少钱的瓶子?”

“好呀!我的孙女会帮我做事了。”

我先将它们分类,然后十个一算,不到十分钟,我就算好了。我高兴极了。

爸爸笑着对我说:“青青真棒!”

我也笑着对奶奶、爸爸说:“我发现数学真得很有用,我要好好学数学!”

三、一年级学生数学小论文

大千世界,数学无处不在。真的,只要你留心观察,善于动脑,你就觉得自己好像置身于数学的海洋。是的,数学无处不在,这个假期,我就深深地感到了这一点。

我的肚子莫名其妙地奏起了狂响曲,“好饿啊——”我呻吟道。“来,吃个苹果吧!”还是妈妈好,“但是……”“但是什么?吃个苹果,哪有什么但是啊?”我笑问道,伸手向一个又大又红的苹果抓去。谁知,妈妈一把抓住苹果,夺了过去,神秘兮兮的。我一脸茫然,妈妈这是卖哪门子的药啊?我不耐烦了“妈,别闹了,还让不让人吃啦?”妈妈还是微笑着,洗起苹果来“吃,谁说不让你吃啦,我这不是洗了吗?”“哦!”我还是一脸疑惑。“但是,我还是有一个要求。”终于说出来了,我就知道不对劲了吗。“什么要求啊?”我有点生气了,不就是吃一个苹果嘛,怎么有那么多要求啊。“你不是学过体积了吗?”“是啊,怎么了?”这根吃苹果有关吗?我心想。“那你能不能把数学知识,带到生活中去,算算这个苹果的体积呢?”妈妈又笑了笑,好像小瞧我似的,我的心里升起了一股力量,恩,我一定要做给你看!一定!

于是,我赶忙把这个令人馋涎欲滴的红苹果,拿在手里,琢磨起怎样算体积来。苹果既不是长方体,也不是正方体,更不是圆柱体,怎么算它的体积呢?我摆来摆去,没有头绪了,此时的肚子还在咕咕作响,我可不能不遵守承诺,就吃了呀,我可不能让妈妈瞧不起我呀,加油,一定还有什么好方法。于是我又鼓起勇气,忍住饥饿,继续埋头考虑起来。

过了一会儿,我终于豁然开朗,我不能用量杯,先在里面装些水,记下水位。随后把那个苹果放入水中,此时的水位上升了不少,再记下上升后的水位。最后用上升后的水位,减去先前的水位,不就算出苹果的体积了吗?我高兴极了,向妈妈汇报了实验结果,妈妈这回是满意的笑了。

数学小论文

不知道这两篇算不算?自己小学写的

注:这两篇文章均已参加河南省数学知识竞赛,仅供参考,如果将此文投稿参赛,文责自负!!

蜗牛收割机

收割机是农民们的好助手,它既方便,又快捷,让麻烦的收割变得简单起来。不过,要是一台“蜗牛收割机”去收割粮食,可就没那么简单了。

一天,我在做家庭作业。题目很简单,而且老师也讲过,所以我抓题就做。有一题是收割机收麦子,题中是一台收割机收一块地,求需要几小时。我想都没想,抓起笔就写。我在本上飞快地计算着:先算面积,再算效率……算着算着,我纳闷儿了,最后得出的结果是几千个小时,怎么会是这样?是方法不对,还是计算错误?我又重新验算了几遍,但结果还是几千个小时。难不成这是台“蜗牛收割机”?

我连忙去请教数学高手——妈妈。妈妈一看,捧腹大笑起来。我更不解了,连忙问道:“怎么了?您快给我讲讲嘛!”妈妈好不容易才止住了笑,只对我说了两个字:“读题。”

我只好回到屋里,托着腮帮子读题。一遍、两遍、三遍……终于,我在两个数据的单位上发现了细微的差别——单位不一样。虽然这差别是细微的,但是,正是这使得结果有着天壤之别,酿成了这个“蜗牛收割机”的笑话。经过单位换算后,结果只有几个小时,这台“蜗牛收割机”又变成了农民们的好助手。

我的梦想是考上著名的清华大学,在严格苛刻的考试中,每半分都是至关重要的,也许,一个单位、一个数字;一句话、一个字的误差都可能使我和梦想,粗心大意更是不能出现。

多少次,因为粗心大意而落在别人之后;多少次,因为粗心大意而失去触手可及的胜利;又有多少次,因为粗心大意而失去宝贵的机会。为了将来,为了梦想,我一定会努力改正这个不足,使自己散发出更耀眼的光芒!

神奇的小数

数学,一个神秘的名字,它创造了加减乘除、分数、小数、百分数……让我们开拓了思维。数学,一个常见的话题,在我们的生活中处处可见,单价、速度、时间、工程……给我们带来了方便。在我的印象中,最有趣的就要属小数了。

一次数学课上,孙老师让我们数数,同学们一听,都愣住了,心想:数数谁不会?老师这葫芦里卖的是什么药呀?为了弄清真相,同学们都大声的数起来:“1、2、3、4……”孙老师却连声叫错,说:“应该这样读才对”说着,在黑板上写了:0、0.1、0.11、0.111……同学们开始议论纷纷,有的说:“老师这是怎么了?”还有的说:“这怎么数呀?”……

孙老师笑了起来,示意让我们停下,她说:“我们平时数数都是 ‘1、2、3’地数,但是你们知道吗,每个整数之间都有无数个这样的数。”看着同学们一脸迷茫的样子,老师又画了一个数轴,只见数轴上的“0”和“1”相距得很远,中间写满了密密麻麻的数。同学们惊讶万分,仿佛是在数字的海洋中发现了新大陆:原来“0”和“1”中间还有这么多的数啊!孙老师又说:“像这样‘0.1、0.11、0.111……’的数,我们就叫它小数。同学们都在哪里见到过小数呢?”

大家七嘴八舌地议论开来,有的说在超市见过,有的说在秒表中见过,还有的说在测量身高、体重时出现过……是啊,我们在超市买东西时,经常要用到这样的小数。例如:一根铅笔的标价是1.5元,也就是一元五角。还有,我的身高是142厘米,就可以用1.42米来表示;我的体重是42千克多一点,还可以用42.3千克来代替。这不都是小数在生活中的作用吗?

同学们的思路一下子打开了,课堂的气氛异常活跃,在不知不觉中,老师引导着我们学习了小数的读法和写法、小数的意义等。大家都为数学的神奇而惊叹不已。

小数啊,你可真神奇,就像一根魔术棒,随着小数点的移动,小数的大小也在发生着翻天覆地的变化。我爱小数,我爱数学!

数学小论文

模式识别

§2-1模式识别及识别的直接方法

在日常生活中生活中,经常需要进行各种判断、预测。如图象文字识别、故障(疾病)的诊断、矿藏情况的判断等,其特点就是在已知各种标准类型前提下,判断识别对象属于哪个类型的问题。这样的问题就是模式识别。

一、模糊模式识别的一般步骤

模式识别的问题,在模糊数学形成之前就已经存在,传统的作法主要用统计方法或语言的方法进行识别。但在多数情况下,标准类型常可用模糊集表示,用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的,以模糊数学为基础的模式识别方法称为模糊模式识别。

模式识别主要包括三个步骤:

第一步:提取特征,首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征,并度量这些特征,设 分别为每个特征的度量值,于是每个识别对象 就对应一个向量 ,这一步是识别的关键,特征提取不合理,会影响识别效果。

第二步:建立标准类型的隶属函数,标准类型通常是论域 的模糊集, 是识别对象的第 个特征。

第三步:建立识别判决准则,确定某些归属原则,以判定识别对象属于哪一个标准类型。常用的判决准则有最大隶属度原则(直接法)和择近原则(间接法)两种。

二、最大的隶属度原则

若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集,待识别对象是论域中的某一元素(个体)时,往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型,因而隶属度不为1,这类问题人们常常是采用称为“最大隶属度原则”的方法加以识别,这种方法(以及下面的“阈值原则”)是处理个体识别问题的,称为直接法。

最大隶属度原则:设 是 个标准类型, ,若

则认为 相对隶属于 所代表的类型。

例1 通货膨胀识别问题

通货膨胀状态可分成五个类型:通货稳定;轻度通货膨胀;中度通货膨胀;重度通货膨胀;恶性通货膨胀.以上五个类型依次用 (非负实数域,下同)上的模糊集 表示,其隶属函数分别为:

其中对 ,表示物价上涨 。问 时,分别相对隶属于哪种类型?

解 ,

由最大隶属原则, 应相对隶属于 ,即当物价上涨 时,应视为轻度通货膨胀; ,应相对隶属于 ,即当物价上涨 时,应视为恶性通货膨胀。

三、阈值原则

在使用最大隶属度原则进行识别中,还会出现以下两种情况,其一是有时待识别对象 关于模糊集 中每一个隶属程度都相对较低,这时说明模糊集合 对元素 不能识别;其二是有时待识别对象 关于模糊集 中若干个的隶属程度都相对较高,这时还可以缩小 的识别范围,关于这两种情况有如下阈值原则。

阈值原则: 是 个标准类型, 为一阈值(置信水平)令

若 则不能识别,应查找原因另作分析。

若d且有 , … 则判决 相对地属于

例2 三角形识别问题

我们把三角形分成等腰三角形 ,直角三角形 , 正三角形 ,非典型三角形 ,这四个标准类型,取定论域

这里 是三角形三个内角的度数,通过分析建立这四类三角形的隶属函数为:

现给定, , 对上述四个标准类型的隶属度为:

由于 关于 , 的隶属程度都相对高,故采用阈值原则,取 ,因 , ,按阈值原则, 相对属于 ∩ ,即 可识别为等腰直角三角形。

例3 癌细胞识别

在癌细胞识别问题中细胞分成四个标准类型,即:癌细胞 ,重度核异质细胞 ,轻度核异质细胞 ,正常细胞

选取表征细胞状况的七个特征:

根据病理知识,反映细胞是否癌变的主要指标有以下六个,它们都是 上的模糊集:

上述 是适当选取的常数

细胞识别中的几个标准类型分别定义为:

上述定义中的模糊集 的隶属函数为 。另两个模糊集 、 的隶属函数类似定义。

给定待识别细胞 ,设 的核面积等七个特征值为 据此可算出 、 、 、 ,最后按最大隶属度原则识别。

例4 冬季降雪量预报

内蒙古丰镇地区流行三条谚语:(1)夏热冬雪大,(2)秋霜晚冬雪大,(3)秋分刮西北风冬雪大,现在根据三条谚语来预报丰镇地区冬季降雪量。

为描述“夏热” 、秋霜晚 、秋分刮西北风 等概念,在气象现象中提取以下特征:

:当年6~7月平均气温

:当年秋季初霜日期

:当年秋分日的风向与正西方向的夹角。

于是模糊集 (夏热), (秋霜晚)、 (秋分刮西北风)的隶属函数可分别定义为:

其中 是丰镇地区若干年6、7月份气温的平均值, 为方差,实际预报时取 = =0.98

其中 是若干年秋季初霜日的平均值, 是经验参数,实际预报时取 =17(即9月17日), =10(即9月10日)。

取论域 ,“冬雪大”可以表示为论域 上的模糊集 ,其隶属函数为:

∧ ∨

采用阈值原则,取阈值 ,测定当年气候因子 。计算 ,若 则预报当年冬季“多雪”,否则预报“少雪”。

用这一方法对丰镇1959~1970年间隔12年作了预报,除1965年以外均报对,历史拟合率为11/12。

§2-2 贴近度与模式识别的间接方法

一、贴近度

表示两个模糊集接近程度的数量指标,称为贴近度,其严格的数学定义如下:

定义1 设映射

:

满足下列条件:

(1) ,

(2) ,

(3) 若 满足

则称映射 为 上的贴近度,称 为 与 的贴近度。

贴近度的具体形式较多,以下介绍几种常见的贴近度公式

(1) Hamming 贴近度

(2)Euclid贴近度

(3)格贴近度

定义7 映射

⊙ ,(或= ⊙ )

称为格贴近度,称 为 与 格贴近度。其中,

(称为 与 的内积)

⊙ (称为 与 的外积)

若 ,则

值得注意的是,这里的格贴近度是通过定义来规定的,事实上,格贴近度不满足定义1中(1),即 ,但是,当 时,格贴近度满足定义1的(1)-(3)。另外格贴近度的计算很方便,且用于表示相同类型模糊度的贴近度比较有效,所以在实际应用中也常选用格贴近度来反映模糊集接近程度。

还有许多贴近度,这里不在一一介绍。

贴近度主要用于模糊识别等具体问题,以上介绍的贴近度表示式各有优劣,具体应用时,应根据问题的实际情况,选用合适的贴近度。

二、模式识别的间接方法——择近原则

在模式识别问题中,各标准类型(模式)一般是某个论域 上的模糊集,用模式识别的直接方法(最大隶属度原则、阈值原则)解决问题时,其识别对象是论域 中的元素。另有一类识别问题,其识别对象也是 上的模糊集,这类问题可以用下面的择近原则来识别判决。

择近原则:已知 个标准类型 、 、…、 , 为待识别的对象, 上的贴近度,若

则认为 与 最贴近,判定 属于 一类。

例5 岩石类型识别

岩石按抗压强度可以分成五个标准类型:很差( )、差( )、较好( )、好( )、很好( )。它们都是 上的模糊集,其隶属函数如下(图2-1)

0 200 400 600 900 1100 1800 2000

图 2-1

今有某种岩体,经实测得出其抗压强度为 上的模糊集 ,隶属函数为(图2-3)。

图 2-3

试问岩体 应属于哪一类。

计算 与 的格贴近度,得:

按择近原则, 应属于 类,即 属于“较好”类( 类)的岩石。

例6 小麦亲本识别

在小麦杂交育种过程中,亲本选择是关键。现有五种类型的小麦亲本,它们是:

:早熟型, :矮杆型, :大粒型,

:高肥丰产型, :中肥丰产型。

判断小麦亲本类型的主要依据是以下五种性状特征:

:抽穗期, :株高, :有效穗数,

:主穗粒数, :百粒重。

第 种类型亲本的第 个特征,是模糊集 ,这些模糊集除 (早熟型的抽穗期)与 (矮杆型的株高)外,其余都是中间型的正态分布模糊集。为简单计,将正态分布函数展开,取前两项作它的近似值,则有

于是 的隶属函数可表示为:

而 , 的隶属函数取为偏小值型:

为确定隶属函数中的参数值,在熟知的标准类型中,每类型选出 个新本为样本,分别计算各样本的第 个特征的均值 及方差 ,取

以上参数值见表(2-1)

表 2-1

亲本

参数

性状 早熟 矮杆 大粒 高肥丰产 中肥丰产

抽穗期 - 6.7 1.1 5.5 9.6 1.0 5.8 11.9 1.2 5.2 11.3 0.9 5.1 8.9 1.2

株高 67.1 87.7 50.0 - 70.0 72.4 67.9 90.9 52.2 67.9 81.2 35.9 76.5 84.6 57.5

有效穗数 9.1 11.2 18.1 8.3 18.2 10.8 9.4 13.2 15.6 9.8 13.2 11.3 7.2 13.2 5.8

主穗粒数 40.2 55.0 92.0 37.5 52.5 80.7 44.2 54.5 21.2 41.2 51.0 13.3 37.6 48.3 93.9

百粒重 3.0 4.4 0.3 2.4 3.4 0.3 4.0 6.0 0.3 3.6 4.2 0.3 3.3 4.0 0.2

现有一待识对象 ,它的第 个特征 是中间型正态分布模糊集,隶属函数可近似表示为:

式中参数值见表(2-2)

表 2-2

特性

参数 抽穗期 株高 有效穗数 主穗粒数 百粒重

8.5 85.6 6.2 36.2 3.43

1.5 4 1.9 70 0.28

计算识别对象 的第 个特征与第 种标准类型对应特征 的格贴近度 并定义第 种标准类型 与识别对象 的贴近度为:

计算结果列于表(2-3)

表 2-3

早熟( )

矮杆( )

大粒( )

高肥( )

中肥( )

( , )

0.50 1.00 1.00 1.00 1.00

( , )

1.00 0.00 1.00 0.76 0.99

( , )

1.00 0.88 0.77 0.64 0.96

( , )

0.23 0.98 0.89 0.83 0.98

( , )

1.00 1.00 0.98 1.00 1.00

( , )

0.23 0.00 0.77 0.64 0.96

表(2-3)的最后一行为 与各标准类型的贴近度。由于 与 的贴近度最高(0.96),故判定识别对象 为 代表的类型,即 为中肥丰产类型的亲本。

例7 遥感土地复盖类型分类

遥感是根据不同的地物对电磁波谱有不同的响应这一原理,来识别土地复盖的类型。空间遥感的一个象元相当于地面0.45公倾地物的综合。遥感图象识别分类中,要涉及不少模糊概念,例如,“以红松为主的针叶林”就是一个没有明确界线的模糊概念。这是遥感本身的特性决定的。因此用模糊数学的方法对遥感图象进行识别分类应该是行之有效的方法。

美国爱达荷大学R.C.Heller 教授指出,国际上当以水体、沙地、森林、城镇、作物、干草作为分类单位(即标准类型)时,空间遥感的分类精度可达83.93%甚至更高。但当分类单位深入到更小的土地复盖单元时,精度就不理想了。

现在将分类单位细分阶段为以下五种标准类型:

:公路, :村庄农田, :红松为主的针叶林,

:阔、针混交林, :白桦林。

对于多波段遥感技术,假设采用 个波段,则每一地物对应一个 维数据向量 。1975年1月22日美国发射LandSat-2,提供了MSS-4,5,6,7这四个波段的数据,故有 。取论域

其中 分别为象元对应于MSS-4,5,6,7各波段的光谱强度。于是五种标准类型 可表为 上的模糊集。

由于各波段光谱强度是正态分布模糊集,故第 个标准类型的( +3)波段光谱强度的隶属函数为:

定义第 种标准类型 为:

因而

其中 为若干个第 种类型第( +3)个波段光谱强度的均值, 为方差,东北凉水林场的这些参数值见表(2-4)

表 2-4

标准类型 MSS-4 MSS-5 MSS-6 MSS-7

19.06 0.56 18.24 1.60 51.24 4.32 25.24 1.98

21.89 2.88 24.68 4.82 47.37 4.09 21.63 2.39

15.46 1.22 12.58 0.88 36.54 3.55 17.33 2.08

16.22 0.64 12.78 0.58 42.41 2.87 21.22 1.50

17 0.82 13.2 0.42 45 0.94 23.20 0.42

设 为识别对象,定义 与 的贴近度为:

(1)

其中 = ⊙ (2)

表 2-5

类型

N

识别对象

max 判别

结果 效果

0.92 0.72 0.50 0.50 0.50 0.92

正确

0.65 0.99 0.50 0.50 0.50 0.99

正确

0.50 0.50 0.99 0.60 0.50 0.99

正确

0.50 0.50 0.61 0.99 0.65 0.99

正确

0.50 0.50 0.50 0.62 0.89 0.89

正确

按 及 ⊙

(3-26)

(这里 与 是 的均值与方差)。

现有东北凉水林场空间遥感象元(待识别对象)五个,按(1)与(2)计算它们与五个标准类型的贴近度,计算结果在表(2-5)按择近原则进行识别判决,准确率100%。

例8 雷达识别

现有 个雷达类,每个雷达类可用发射频率、脉冲重复频率、脉冲宽度等特征来刻画,假设共有 个特征,第 类雷达的第 个特征可以取 个值。由于保密的需要及信号环境的日益复杂,这些特征及其取值都带有一定的模糊性。设第 类 雷达的 个特征为 类雷达的第 个特征 取值为 ,其隶属函数为中间型柯西分布,即

设 为待识别对象,它的 个特征为 的第 个特征 的隶属函数也取中间型柯西分布:

采用格贴近度,令

则 为识别对象 的第 个特征与 类雷达第 个特征贴近程度的度量。

一般情况可令

( 是各 的加权平均值,权系数 表示 个特征的重要性程度) 可作为识别对象 与第 类雷达总贴近的度量。根据 的大小可判定 属于何类雷达,但是,由于权系数 的确定有一定的模糊性, 及 的隶属函数的确定带有一定的主观性,从而导致贴近度 有一定的模糊性。因此对 及 进行模糊化处理,设

这里 , 都是 模糊数(见第五章),取 。

的隶属函数为

则 为识别对象 与第 类雷达的贴近程度的模糊测度。

为得到 所属雷达类别的确切判决,类似于阈值法则,给定水平值 ,令

若 且 唯一,则判定 为 类雷达;

若 且 ,则判定 为 类雷达。

用上述方法(将权系数及贴近度模糊化),经上千次仿真试验,比传统的贴近度及线性加弘平均法,误判率有所下降。

第三章 模糊规划

§3-1 模糊极值

一、有界函数的模糊极值

设 ( 为实数集)

是有界函数,求函数 的普通极值问题是求 使

满足上式的 为 在 上的最大值点, 为最大值,最大值点不一定唯一.

设 的一切最大值点的集合为

称 为 的优越集.当 时,函数在 处取到最大值 , 使 达到最优.当 时, 虽不是最大值,但对不同的 , 与最大值的差异有所不同,也就是说,对于不属于 的 ,它们的“优越性”程度有所不同,为了反映 中各点不同的优越程度,将优越集 模糊化,并利用它将极值模糊化.

定义1设 是有界函数,定义 的隶属函数为

( )

称 为 的无条件模糊优越集称 的 的无条件模糊极大值.这里 ,它的求属函数按扩张原理为

(约定 )

注 (1)当 为 的极大点,即 时 ,当 为 的极小点,即 时 , 充分必要条件是

(2)当 时,

当 时,

当 时,

因此, 反映了在模糊意义下, 对 的模糊数大值的求属程度.

例1 设 , ,

定义 , , , ,则

, 并且

于是

的无条件模糊极小集 定义为 的无条件极大集,显然有

且有, ,所有极小集 是极大集 的余集.

二、模糊约束下有界函数的模糊极值

设: 是有界函数, ,考虑 在 约束下的最大值问题,这是一个模糊规划问题,求解这个问题意味着既要最大限度地满足约束,又要最大限度地达到理想目标,为此定义如下:

定义2 设目标函数 是有界函数, 是模糊约束,令

这里的 是定义1中 的无条件模糊优越集,称 为 在 约束下的条件模糊优越集,称 为 在 约束下的条件模糊极大值.它们的求属函数分别为:

求解目标函数 在模糊约束 下的条件极大值有如下三个步骤:

(1)求无条件模糊优越集

(2)求条件模糊优越集

(3)求条件最佳决策,即选择 ,使

就是所求的条件极大点, 就是在模糊约束 下的条件极大值.

例2采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容,其目的就是建立完善的矿井生产系统,实现采区合理集中生产,改善技术经济指标.因此,合理地选择最优巷道布置方案,对于矿井生产具有十分重要的意义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用,在选择最优巷道布置方案时,要求达到下列标准:

(1)生产集中程度高; (2)采煤机械化程度高;

(3)采区生产系统十分完善; (4)安全生产可靠性好;

(5)煤炭损失率低; (6)巷道掘进费用尽可能低.

上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题,我们可以把(1)~(5)作为模糊约束,而把(6)作为目标函数.

设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择,即 ={ (方案Ⅰ), (方案Ⅱ), (方案Ⅲ), (方案Ⅳ), (方案Ⅴ), (方案Ⅵ)}.

经过对六种方案进行审议,评价后,将其结果列于表1

方案

评价项目

:生产集中程度高

较低 高 较高 很高 较高 较高

:采煤机械化程度高

高 较高 较高 高 很高 高

:采区生产系统完善

一级 较低 较低 很高 高 较高

:安全生产可靠度高

较低 一般 较低 高 一般 高

:煤炭损失率低

高 较高 一般 一般 一般 很低

: 巷道掘进费用(万元)

59.40 69.10 78.80 34.50 44.20 63.60

将表1中的语言真值(评价结果)转化为各模糊约束集 , 的隶属度转化的对应关系如下:

对 , , , 而言,对应关系为:

很 低 较 低 一 般 较 高 高 很 高

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

对 而言,对应关系为

很 低 较 低 一 般 较 高 高 很 高

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

将表1中的巷道掘进费用目标函数 用公式

计算出,因此得表2

其值语言与隶属函数转换表2

方案

0.2 0.8 0.4 1.0 0.6 0.6

0.8 0.6 0.6 0.8 1.0 0.8

0.4 0.2 0.2 1.0 0.8 0.6

0.2 0.4 0.2 0.8 0.4 0.8

0.2 0.4 0.6 0.6 0.6 1.0

0.44 0.22 0 1 0.78 0.34

计算模糊判决集 为

(按列求最小)

根据最大求属度原则,方案四最优

例3 在某种食品中投放某种调味剂,每公斤食品中的含量设为 克,对顾客爱好作调查统计,得爱好函数为

对于使爱好函数值越大的 值,所制产品越畅销,因而收益越大,但是由于成本核算等等原因,对 值需要进行限制,这种限制集合的边界是模糊的,即 的约束条件为一模糊集 ,其隶属函数为

试确定合理的剂量 ,使得在接受约束的条件下,获得最优收益.

解 这是一个规划问题,分三步进行.

(1) 求无条件模糊优越集 ,由于

令 ,得 .又当 时, , 时, ,因而 , .因此

(2) 求条件模糊优越集

其中 满足方程

(3) 选择 ,使

即 对目标 的可能度为45.93%,而要实现这种可能性,应选择调味剂的最佳剂量为2.085克.

需要说明的是,在本例中如果将约束条件确切化,以 的核[0,1]为约束,这是一个普通规划问题,所得结论是选择最佳剂量为1克.从约束条件看,已是100%遵守,但所能达到的最高目标相对整个目标函数来说是很低的,由 ,说明相对整个目标来说,其优越程度仅达24.6%.如果把条件放松为模糊约束条件 ,且适当降低 的水平,却可以获得较好的目标值.如例中的结果,当 时,从接受约束条件来看虽仅达45.9%,但目标函数的优越程度也升到了45.9%,从而提高了整体优化水平.由于在实际问题中,约束条件往往不是绝对的,有一定的伸缩性,模糊规划的思想就是利用这点灵活性,兼顾目标函数与约束条件综合地选择最优方案.

例4 植物的种植密度与产量有密切的关系.已知某种杉树的种植密度 与产量 的关系如下:

这里 表示每公顷土地上种植的棵数, 表示每公顷土地产出木材的体积.现有一片杉树森林,其密度不均匀,估计 “大约是三千”.试估计该森林每公顷木材最高产量.

解 设 表示“大约是三千”这一模糊, 的隶属函数为

估计木材产量的问题,就是求在 的约束下函数 的模糊条件极大值.为此先求有界函数 的无条件模糊优越集.因 , ,所以

在约束条件 下的条件模糊优越集为:

条件模糊极值为 ,其隶属函数为:

为求条件最佳决策 ,即满足条件

注意到 的隶属函数曲线是单调降的,而 是正态分布模糊集, 在约束 下的模糊最佳决策(即模糊条件极大点),是方程

的两个根当中的较小者,解之得 .

由 可知, 时,接受约束的程度为46.9%,同时,相对于整体目标函数,优越程度也是46.9%.

由 可知,该森林每公顷木材最高产量估计为 .

§3-2 模糊线性规划

一、普通线性规划

普通线性规划的一般形式为

目标函数

约束条件

矩阵表达形式

其中

线性规划问题的标准形式

(3-1)

二、模糊线性规划

在实际问题中,有时线性规划的约束条件带有模糊性,这就是解谓的模糊线性规划,其模型为

这是“ ”表示一种弹性约束,可读作“近似小于等于”.“近似小于等于”是一个模糊概念,可以用一个模糊集来表示它. 表示第 个约束的左边表达式,模糊集 表示“ ”这一事实,当 时,完全接受约束,应有 ;适当选择一个伸缩系数 ,约定当 时,不认为 ,这时应有 ;当 时, 应从1下降到0,表示约束程度降低.为了简单可行, 规定如下:

设 ,对每一个约束 ,相应地有 中一个模糊渠 与之对应,它的隶属函数为

其中 是适当选择的常数,叫做伸缩指标, ,这样一来,我们将弹性约束转化成模糊约束,再令 就将全部约束条件转化成一个模糊约束.

当 时, 退化为普通约束集 ,模糊约束条件中“ ”退化为“ ”

模糊线性规划的模型简记为

(3-2)

约束的弹性必然导致目标的弹性,为将目标函数模糊化,先求解普通线性规划问题:

满足 (3-3)

以及

满足 (3-4)

其中 称为(3-2)的伸缩指标向量.

设 是(3-32)的最优值, 是(3-4)的最优值. 所满足的约束条件为 ,对应的模糊约束 .若适当降低模糊约束的隶属度 ,可以相应提高目标函数值 , 所满足的约束条件已放到最宽 ,对应的模糊约束 也接近于0.于是目标函数的弹性可表示为 .为此构造模糊目标集 .其隶属函数为

其中

由模糊目标的上述隶属函数可知,当 时, ,要提高目标函数值使之大于 .就必须降低 .为了兼顾目标与约束,可采用模糊决策为 ,最佳决策为 , 满足

若令 , 则有

于是求最佳决策 的问题,就转化为求普通线性规划问题:

(3-5)

求解上述普通规划问题,可得

最佳决策

目标函数值 .

例5:求解模糊线性规划问题

(3-6)

解 (一)解普通线性规划

(二)解普通线性规划

(三) 解普通线性规划

解 这个线性规划采用大 法

原线性规划改写为

从而(3-4)的最优值

例6某企业根据市场信息及自身生产能力,准备开发甲、乙两种系列产品.甲种系列产品最多大约能生产400套,乙种系列产品最多大约能生产250套.据测算,甲种产品每套成本3万元,每套获纯利润7万元;乙种系列产品每套成本2万元,每套获纯利润3万元.生产甲、乙两种系列产品的资金总投入大约不能超过1500万元.在上述条件下,如何安排两种系列产品的生产,才能使企业获利最大?

解 设甲种系列产品生产 套,乙种系列产品生产 套,则

目标:

约束: (3-7)

设约束条件(1)、(2)、(3)的伸缩系数分别取为 (元), (套), (套).为将目标函数模糊化,解经典线性规划问题

使

(4)

用单纯形法求解,得 , ,

再解经典线性规划问题

(5)

解得

, ,

于是

将 、 、 、 、 代入(3-5),将原问题经为经典线性规划问题:

使

上述线性规划问题最优解为 , , .因此安排甲种系列产品403套、乙种系列产品159套(取整数)时,能获得最大利润,最大利润为:

万元

对比经典线性规划问题(4),利润提高43.75万元,这是因为甲种系列产品403套比400套多3套;乙种系列产品生产159套比150套多9套,这是在伸缩指标允许范围内.总费用 元虽然比1500超出27元,这也是伸缩指标允许的.以上讨论说明,在适当放松约束时可以提高利润.

求高等数学小论文一篇

牛顿、莱布尼茨和微积分微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生,又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今,微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具。

从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说,早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题)。

1605 年 5 月 20 日,在牛顿手写的一面文件中开始有 “ 流数术 ” 的记载,微积分的诞生不妨以这一天为标志。牛顿关于微积分的著作很多写于 1665 - 1676 年间,但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算,并且给出换算的公式,就是后来著名的牛顿-莱而尼茨公式。

牛顿是那个时代的科学巨人。在他之前,已有了许多积累:哥伦布发现新大陆,哥白尼创立日心说,伽利略出版《力学对话》,开普勒发现行星运动规律--航海的需要,矿山的开发,火松制造提出了一系列的力学和数学的问题,微积分在这样的条件下诞生是必然的。

牛顿于 1642 年出生于一个贫穷的农民家庭,艰苦的成长环境造就了人类历史上的一位伟大的科学天才,他对物理问题的洞察力和他用数学方法处理物理问题的能力,都是空前卓越的。尽管取得无数成就,他仍保持谦逊的美德。

如果说牛顿从力学导致 “ 流数术 ” ,那莱布尼茨则是从几何学上考察切线问题得出微分法。他的第一篇论文刊登于 1684 年的《都市期刊》上,这比牛顿公开发表微积分著作早 3 年,这篇文章给一阶微分以明确的定义。

莱布尼茨 1646 年生于莱比锡。 15 岁进入莱比锡大学攻读法律,勤奋地学习各门科学,不到 20 岁就熟练地掌握了一般课本上的数学、哲学、神学和法学知识。莱布尼茨对数学有超人的直觉,并且对于设计符号很第三。他的微积分符号 “dx\" 和 ”∫” 已被证明是很发用的。

牛顿和莱布尼茨总结了前人的工作,经过各自独立的研究,掌握了微分法和积分法,并洞悉了二者之间的联系。因而将他们两人并列为微积分的创始人是完全正确的,尽管牛顿的研究比莱布尼茨早 10 年,但论文的发表要晚 3 年,由于彼此都是独立发现的,曾经长期争论谁是最早的发明者就毫无意义。牛顿和莱尼茨的晚年就是在这场不幸的争论中度过的。

牛顿的“流数术”

数学史的另一次飞跃就是研究“形”的变化。17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展,不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大,而且由于实践的需要,开始研究运动着的物体和变化的量,这样就获得了变量的概念,研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。到了17世纪下半叶,在前人创造性研究的基础上,英国大数学家、物理学家艾萨克?牛顿(1642~1727)是从物理学的角度研究微积分的,他为了解决运动问题,创立了一种和物理概念 直接联系的数学理论,即牛顿称之为“流数术”的理论,这实际上就是微积分理论。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。这些概念是力不概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间,依赖于时间,因而他把时间作为自变量,把和时间有关的固变量作为流量,不仅这样,他还把几何图形――线、角、体,都看作力学位移的结果。因而,一切变量都是流量。

牛顿指出,“流数术”基本上包括三类问题。

(1)已知流量之间的关系,求它们的流数的关系,这相当于微分学。

(2)已知表示流数之间的关系的方程,求相应的流量间的关系。这相当于积分学,牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数,还包括解微分方程。

(3)“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值,求曲线的切线和曲率,求曲线长度及计算曲边形面积等。

牛顿已完全清楚上述(1)与(2)两类问题中运算是互逆的运算,于是建立起微分学和积分学之间的联系。

牛顿在1665年5月20日的一份手稿中提到“流数术”,因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。

莱布尼茨使微积分更加简洁和准确

而德国数学家莱布尼茨(G.W. Leibniz 1646~1716)则是从几何方面独立发现了微积分,在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过,他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是他们这些工作是零碎的,不连贯的,缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积,运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学,造诣较莱布尼茨高一等,但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹,既简洁又准确地揭示出微积分的实质,强有力地促进了高等数学的发展。

莱布尼茨创造的微积分符号,正像印度――阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样,促进了微积分学的发展。莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。

牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了,而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到,好的符号能大大节省思维劳动,运用符号的技巧是数学成功的关键之一。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》,这本书直到1736年才出版,它在这本书里指出,变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量,把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是:已知连续运动的路径,求给定时刻的速度(微分法);已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。

德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年,他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章,却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力。

前面已经提到,一门科学的创立决不是某一个人的业绩,他必定是经过多少人的努力后,在积累了大量成果的基础上,最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。

不幸的事,由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余,在提出谁是这门学科的创立者的时候,竟然引起了一场悍然大波,造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国,囿于民族偏见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前,因而数学发展整整落后了一百年。

其实,牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究,在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右,但是整是公开发表微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处,也都各有短处。那时候,由于民族偏见,关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。

应该指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样,牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一,十分含糊。牛顿的无穷小量,有时候是零,有时候不是零而是有限的小量;莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的产生。

直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。

任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星:瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、……

欧氏几何也好,上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正的变量数学,是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的丰功伟绩。

留给后人的思考

从始创微积分的时间说牛顿比莱布尼茨大约早10年,但从正式公开发表的时间说牛顿却比莱布尼茨要晚。牛顿系统论述“流数术”的重要著作《流数术和无穷极数》是1671年写成的,但因1676年伦敦大火殃及印刷厂,致使该书1736年才发表,这比莱布尼茨的论文要晚半个世纪。另外也有书中记载:牛顿于1687年7月,用拉丁文发表了他的巨著《自然哲学的数学原理》,在此文中提出了微积分的思想。他用“0”表示无限小增量,求出瞬时变化率,后来他把变量X称为流量,X的瞬时变化率称为流数,整个微积分学称为“流数学”,事实上,他们二人是各自独立地建立了微积分。最后还应当指出的是,牛顿的“流数术”,在概念上是不够清晰的,理论上也不够严密,在运算步骤中具有神秘的色彩,还没有形成无穷小及极限概念。牛顿和莱布尼茨的特殊功绩在于,他们站在更高的角度,分析和综合了前人的工作,将前人解决各种具体问题的特殊技巧,统一为两类普通的算法――微分与积分,并发现了微分和积分互为逆运算,建立了所谓的微积分基本定理(现今称为牛顿――莱布尼茨公式),从而完成了微积分发明中最关键的一步,并为其深入发展和广泛应用铺平了道路。由于受当时历史条件的限制,牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠,有些概念比较模糊,因此引发了长期关于微积分的逻辑基础的争论和探讨。经过18、19世纪一大批数学家的努力,特别是在法国数学家柯西首先成功地建立了极限理论之后,以极限的观点定义了微积分的基本概念,并简洁而严格地证定理即牛顿―莱布尼茨公式,才给微积分建立了一个基本严格的完整体系。

不幸的是牛顿和莱布尼茨各自创立了微积分之后,历史上发生了优先权的争论,从而使数学家分为两派,欧洲大陆数学家两派,欧洲大陆的数学家,尤其是瑞士数学家雅科布?贝努利(1654~1705)和约翰?贝努利(1667~1748)兄弟支持莱布尼茨,而英国数学家捍卫牛顿,两派争吵激烈,甚至尖锐到互相敌对、嘲笑。牛顿死后,经过调查核实,事实上,他们各自独立地创立了微积分。这件事的结果致使英国和欧洲大陆的数学家停止了思想交流,使英国人在数学上落后了一百多年,因为牛顿在《自然哲学的数学原理》中使用的是几何方法,英国人差不多在一百多年中照旧使用几何工具,而大陆的数学家继续使用莱布尼茨的分析方法,并使微积分更加完善,在这100年中英国甚至连大陆通用的微积分都不认识。虽然如此,科学家对待科学谨慎和刻苦的精神还是值得我们学习的。

莱布尼兹

莱布尼兹 (1646-1716)

莱布尼兹是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家,一个举世罕见的科学天才。他博览群书,涉猎百科,对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。 

生平事迹

莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家,广泛接触古希腊罗马文化,阅读了许多著名学者的著作,由此而获得了坚实的文化功底和明确的学术目标。15岁时,他进了莱比锡大学学习法律,还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略、等人的著作,并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后,莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学,并获得了哲学硕士学位。

20岁时他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》。这是一篇关于数理逻辑的文章,其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟,但却闪耀着创新的智慧和数学才华。

莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界。在出访巴黎时,莱布尼兹深受帕斯卡事迹的鼓舞,决心钻研高等数学,并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作。他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学,开始了对无穷小算法的研究,独立地创立了微积分的基本概念与算法,和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学。1700年被选为巴黎科学院院士,促成建立了柏林科学院并任首任院长。

始创微积分  

17世纪下半叶,欧洲科学技术迅猛发展,由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要,经各国科学家的努力与历史的积累,建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。微积分思想,最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。1665年牛顿创始了微积分,莱布尼兹在1673-1676年间也发表了微积分思想的论著。以前,微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题,是分别加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果,但这些结果都是孤立的,不连贯的。只有莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟通起来,明确地找到了两者内在的直接联系:微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系,才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中,总结出共同的算法程序,使微积分方法普遍化,发展成用符号表明了微积分基本 示的微积分运算法则。

然而关于微积分创立的优先权,数学上曾掀起了一场激烈的争论。实际上,牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹,但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿。莱布尼兹在1684年10月发表的《教师学报》上的论文,“一种求极大极小的奇妙类型的计算”,在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道:“十年前在我和最杰出的几何学家G、W莱布尼兹的通信中,我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法,但我在交换的信件中隐瞒了这方法,……这位最卓越的科学家在回信中写道,他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法,它与我的方法几乎没有什么不同,除了他的措词和符号而外。”因此,后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。牛顿从物理学出发,运用集合方法研究微积分,其应用上更多地结合了运动学,造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发,运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则,其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动,运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此,他发明了一套适用的符号系统,如,引入dx 表示x的微分,∫表示积分,dnx表示n阶微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。

1713年,莱布尼兹发表了《微积分的历史和起源》一文,总结了自己创立微积分学的思路,说明了自己成就的独立性。

莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的,他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出,为后来的数学理论奠定了基础。  莱布尼兹曾讨论过负数和复数的性质,得出复数的对数并不存在,共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中,莱布尼兹证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究,对消元法从理论上进行了探讨,并首先引入了行列式的概念,提出行列式的某些理论。此外,莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念,发明了能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制,为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。

丰硕的物理学成果

莱布尼兹的物理学成就也是非凡的。他发表了《物理学新假说》,提出了具体运动原理和抽象运动原理,认为运动着的物体,不论多么渺小,他将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动。他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨,提出了能量守恒原理的雏型,并在《教师学报》上发表了“关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明”,提出了运动的量的问题,证明了动量不能作为运动的度量单位,并引入动能概念,第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理。他又充分地证明了“永动机是不可能”的观点。他也反对牛顿的绝对时空观,认为“没有物质也就没有空见,空间本身不是绝对的实在性”,“空间和物质的区别就象时间和运动的区别一样,可是这些东西虽有区别,却是不可分离的”。在光学方面,莱布尼兹也有所建树,他利用微积分中的求极值方法,推导出了折射定律,并尝试用求极值的方法解释光学基本定律。可以说莱布尼兹的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何的公理系统的目标前进的。

发明乘法计算机

德国人莱布尼兹发明了乘法计算机,他受中国易经八卦的影响最早提出二进 制运算法则。莱布尼兹对帕斯卡的加法机很感兴趣。于是,莱布尼兹也开始了对计算机的研究。1672年1月,莱布尼兹搞出了一个木制的机器模型,向英国皇家学会会员们做了演示。但这个模型只能说明原理,不能正常运行。

1674年,最后定型的那台机器,就是由奥利韦一人装配而成的。莱布尼兹的这台乘法机长约1米,宽30厘米,高25厘米。它由不动的计数器和可动的定位机构两部分组成。整个机器由一套齿轮系统来传动,它的重要部件是阶梯形轴,便于实现简单的乘除运算。莱布尼兹设计的样机,先后在巴黎、伦敦展出。由于他在计算设备上的出色成就,被选为英国皇家学会会员。

中西文化交流之倡导者  

莱布尼兹对中国的科学、文化和哲学思想十分关注,是最早研究中国文化和中国哲学的德国人。他向耶酥会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况,包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等,并将这些资料编辑成册出版。他认为中西相互之间应建立一种交流认识的新型关系。在《中国近况》一书的绪论中,莱布尼兹写道:“全人类最伟大的文化和最发达的文明仿佛今天汇集在我们大陆的两端,即汇集在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲——中国。”“中国这一文明古国与欧洲相比,面积相当,但人口数量则已超过。”“在日常生活以及经验地应付自然的技能方面,我们是不分伯仲的。我们双方各自都具备通过相互交流使对方受益的技能。在思考的缜密和理性的思辩方面,显然我们要略胜一筹”,但“在时间哲学,即在生活与人类实际方面的伦理以及治国学说方面,我们实在是相形见拙了。”在这里,莱布尼兹不仅显示出了不带“欧洲中心论”色彩的虚心好学精神,而且为中西文化双向交流描绘了宏伟的蓝图,极力推动这种交流向纵深发展,是东西方人民相互学习,取长补短,共同繁荣进步。莱布尼兹为促进中西文化交流做出了毕生的努力,产生了广泛而深远的影响。

由于莱布尼茨在牛顿完成其前两段工作之后曾访问巴黎(1672年)和伦敦(1673年),并且和了解牛顿微积分工作的科学家们通过信,因而被指责为“剽窃者”。这使他起而为自己的名誉辨护,因而使这场争论达到了相当激烈的地步。许多数学家都被牵扯了进来,直到使欧洲数学家分成两派,大陆的数学家们为莱布尼茨辩护,英国的数学家们则捍卫牛顿,以至长期对立,形成学术上的门户之见,达到双方停止了学术思想交流的程度,影响了此后一段时间的数学进展。在牛顿和莱布尼茨都已逝世之后进行的调查表明:虽然牛顿的大部分工作是在莱布尼茨之前做的,但莱布尼茨也是微积分主要思想的独立创立者,他们都同样地接受了前辈数学家的启发,同样地作出了自己的独立贡献。在以前的科学史上我们已经看到,在以后的科学史上我们还将一再地看到这种同一发现在大致相同的时间被完全不同甚至互不相识的人们独立完成的现象。这种现象的大量出现,最好不过地说明:是科学的发展造就了杰出的科学家,而不是杰出科学家的个人天赋决定了科学的发展。

数学小论文或数学小故事

欧几里德(Euclid of Alexandria),希腊数学家。约生于公元前330年,约殁于公元前260年。

欧几里德是亚历山大里亚学派的成员。欧几里德写过一本书,书名为《几何原本》(Elements)共有13卷。这一著作对于几何学、数学和科学的未来发展,对于西方人的整个思维方法都有极大的影响。《几何原本》的主要对象是几何学,但它还处理了数论、无理数理论等其他课题。欧几里德使用了公理化的方法。公理(axioms)就是确定的、不需证明的基本命题,一切定理都由此演绎而出。在这种演绎推理中,每个证明必须以公理为前提,或者以被证明了的定理为前提。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范,在差不多2000年间,被奉为必须遵守的严密思维的范例。《几何原本》是古希腊数学发展的顶峰。

笛卡儿

笛卡儿最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学。在笛卡儿时代,代数还是一个比较新的学科,几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究,于1637年,在创立了坐标系后,成功地创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。

欧拉

欧拉(Leonhard Euler 公元1707-1783年) 1707年出生在瑞士的巴塞尔(Basel)城,13岁就进巴塞尔大学读书,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748年)的精心指导.

欧拉渊博的知识,无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作,都是令人惊叹不已的!他从19岁开始发表论文,直到76岁,半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文.到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字,从初等几何的欧拉线,多面体的欧拉定理,立体解析几何的欧拉变换公式,四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数,微分方程的欧拉方程,级数论的欧拉常数,变分学的欧拉方程,复变函数的欧拉公式等等,数也数不清.他对数学分析的贡献更独具匠心,《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作,当时数学家们称他为"分析学的化身".

伽罗华(Évariste Galois,公元1811年-公元1832年)是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家,他的工作为群论(一个他引进的名词)奠定了基础;所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根数解(Solution by Radicals)的不可能性(其实当时已为阿贝尔(Abel)所证明,只不过伽罗华并不知道),和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。虽然他已经发表了一些论文,但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时,第一次所交论文却被柯西(Cauchy)遗失了,第二次则被傅立叶(Fourier)所遗失;他还与埃科尔综合技术学院(école Polytechnique)的口试主考人发生顶撞而被拒绝给予一个职位。在父亲自杀后,他放弃投身于数学生涯,注册担任辅导教师,结果因撰写反君主制的文章而被开除,且因信仰共和体制而两次下狱。他第三次送交科学院的论文亦为泊松(Poisson)所拒绝。伽罗华死于一次决斗,可能是被保皇派或警探所激怒而致,时年21岁。他被公认为数学界两个最具浪漫主义色彩的人物之一。

彭加勒,法国数学家。1854年4月29日生于南锡,1912年7月17日卒于巴黎。

彭加勒在读中学时,已显示出很高的数学才能。1873年10月以第一名考入巴黎综合工科学校;1875年入国立高等矿业学校学习工程,后任工程师;1879年以数学论文获博士学位,旋即去卡昂大学理学院任讲师;1881年为巴黎大学教授,直到去世;他是全能的数学家,在算术、代数、几何和分析四个数学领域的研究成果都是第一流的,成功地解决了太阳、地球、月亮间相互运动的三体问题;他是现代物理的两大支柱-相对论和量子力学的思想先驱;他研究科学哲学提出的“约定论”着重分析了人类理性认识的基本法则,日益受到当代科学家的重视。在他从事科学研究的34年里,发表论文500篇,著作30多部,获得法国、英国、俄国、瑞典、匈牙利等国家的奖赏,被聘为三十多个国家的科学院院士。

彭加勒的研究涉及了数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域。彭加勒对经典物理学有深入而广泛的研究,对狭义相对论的创立有一定的贡献。他从1899年开始研究电子理论,最先认识到洛伦茨变换构成群。

希尔伯特,D.(Hilbert,David,1862~1943)德国数学。

希尔伯特于1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上,提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题,被认为是20世纪数学的制高点,对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展,在世界上产生了深远的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜,希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”。

熊庆来,字迪之,清代光绪十七年(公元1891年)出生于云南省弥勒县息宰村。他自幼养成勤奋好学的良好习惯,再加上非凡的记忆力与天才的语言接受能力,常令教育过他的中外教师惊叹不已。1913年他以优异成绩考取云南教育司主持的留学比利时公费生,但因第一次世界大战爆发,只得转赴法国,在格诺大学、巴黎大学等大学功读数学,获理科硕士学位。他用法文撰写发表了《无穷极之函数问题》等多篇论文,以其独特精辟严谨的论证获得法国数学界的交口赞誉。

华罗庚(1910-1985)

中国数学家、教育家,中国解析数论、典型群、矩阵几何学、自守函数论与多服变函数论等方面的创始人与开拓者。江苏金坛人。他的关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”。著有《对垒素数论》《数论导引》《高等数学引论》以及《优选法评话及其补充》《统筹法评话及补充》等

陈建功(1893—1971)数学家,数学教育家。早年在浙江大学数学系任教20余年,1952年后被强行调往上海执教,后曾任杭州大学副校长。研究领域涉及正交函数,三角级数,函数逼近,单叶函数与共形映照等。是我国函数论研究的开拓者之一。

丘成桐

1981年,他32岁时,获得了美国数学会的维布伦(Veblen)奖——这是世界微分几何界的最高奖项之一;1983年,他被授予菲尔兹(Fields)奖章——这是世界数学界的最高荣誉;1994年,他又荣获了克劳福(Crawford)奖。

除此之外,他还获得过美国国家科学奖章和加利福尼亚州最优秀的科学家的称号,是美国科学院院士、哈佛大学名誉博士、中国科学院外籍院士、香港中文大学名誉博士……

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